T
Teses de Doutorado
Pedagogia — Backup
Psiquiatria — Backup
Matemática
M.2
Ensino Fundamental
Sistema com inequação de 2º grau (8ª): Seja o sistema x2 – x – 2 < 0, x2 + px + q = 0. Determine p e q, de forma que haja exatamente 2 soluções para x.
M.3
Superior
Determine o conjunto A dos pontos pelos quais passa a curva.
Determine o conjunto A' dos pontos pelos quais não passa a curva.
Mostre que, para todo x pertence A', para toda bola B de R³ com centro em x e raio épsilon, existe um ponto de B que pertence a A.
Equações de Navier-Stokes
Suponha que exista solução. Dado o número real R > 0, determine u, v, w, p(x,y,z,t) — as três componentes da velocidade e a pressão — tais que, fazendo F = G = H = 0, vale o sistema 4 × 4:ux + vy + wz = 0
R(uxx + uyy + uzz) + F = ut + px + uxu + uyv + uzw
R(vxx + vyy + vzz) + G = vt + py + vxu + vyv + vzw
R(wxx + wyy + wzz) + H = wt + pz + wxu + wyv + wzw
Suponha que não exista solução. Aponte F(x,y,z,t), G(x,y,z,t), H(x,y,z,t), U(x,y,z,0), V(x,y,z,0), W(x,y,z,0), todas suaves, satisfazem as desigualdades abaixo, u, v, w "livres de divergência" (satisfazem i), tais que alguma das 3 igualdades seja falsa ∀ u,v,w,p suaves e u,v,w cineticamente limitadas.
∃ F, G, H, U, V, W tal que...
Suponha que é improvável. Seja um conjunto de axiomas T qualquer, contendo números reais, adição, multiplicação, funções reais, derivação parcial. Seja p nossa proposição: ∀ R (...) ∃ u, v, w ; (...) Demonstre que "p é provável de T" é um absurdo.
Eu simplesmente não consigo acreditar que estao oferecendo um premiozinho e que nenhuma sociedade secreta da humanidade conseguiu resolver isso.
Até agora, supondo wx, wy, vx não nulos, consegui 3 equações diferenciais em w.
Seja Ai = {(x,y,z,t,wi) | wi = fi(x,y,z,t)}, para i = 1,2,3.
Uma função de (x,y) tem 2 dimensões ⇒ dim Ai = 4
Pela Álgebra Linear em uma matriz M3 × 5, temos desde 3 hiperfícies paralelas a 3 hiperfícies coincidentes:
dim (A1 inter A2 inter A3) está no conjunto {dim Vazio, 0,1,2,3,4}
RMS ___ Link 1 ___ Link 2
Hipótese Riemanniana
Demonstre que ζ(a + bi) = 0 ⇒ a = 1/2, caso suponha ser verdadeiro.Caso contrário, aponte a ≠ 1/2 ; ζ(a + bi) = 0
Caminho da dúvida: construa uma linguagem lógica L, axiomas T, e prove a falsidade da demonstrabilidade.
Mini-Curso
Unsolved
Na verdade, o gato entrou na igreja porque ele se moveu na (n + 1)a dimensão e retornou à na. Ele e a igreja têm n dimensões — seja n = 2 e a representação num papel: gato = interior do círculo, igreja = interior do retângulo. A igreja é topologicamente fechada em ℝn, mas não em ℝn + p. Basta fazer um 8 com o papel — este é o universo no qual o gato e a igreja estão imersos ou submersos. O gato na verdade é uma semi-esfera e a igreja um semi-cubo, mas eles não sabem disso. A verdadeira distância é medida na linha reta em ℝn + p que vai do centro do gato ao centro da igreja. Possivelmente zero, como o papel dobrado. Físicos confundem as dimensões com as coordenadas do gato.
Imersões
Lipschitz contém Imersões Isométricas = Isometrias contém Translações ∪ Transformações Lineares OrtogonaisTransformação Linear T é ortogonal ⇔ T é isometria.
Def.: Seja f : Uaberto ⊂ ℝ2 → ℝ6. f é imersão ⇐ f é diferenciável tal que ∀ x ∈ U, f'(x) : ℝ2 → ℝ6 é transformação linear injetiva.
Forma local: Seja a imersão f fortemente diferenciável em a ∈ U. Então ∃ homeomorfismo h : Zaberto → (V × W)aberto, [que é carta local inversa de V × W em Z], tal que f(a) ∈ Z ⊂ ℝ6, (a, 0) ∈ V × W ⊂ ℝ2 × ℝ4, h ∘ f(x) = (x, 0), ∀ x ∈ V, h é fortemente difenciável em f(a) ∈ Z.
Caso f ∈ Ck, k ≥ 1, então ∃ V2, W2, Z2 tais que o difeomorfismo h ∈ Ck.
Corolário: f ∈ Ck, k ≥ 1, f'(a) é injetiva ∃ a ∈ U, então f'(x) : ℝ2 → ℝ6 é injetiva, ∀ x ∈ Vaberto ⊂ ℝ2 tal que a ∈ V.
Isso é consequência de:
1º) Seja f' : U → L(ℝ2; ℝ6) . f' ∈ C0
2º) O conjunto das transformações lineares injetivas é aberto em L(ℝ2; ℝ6).
T é injetiva ⇔ ∃ subMatriz r2 × 2 de T6 × 2, tal que det r ≠ 0.
Se r ≠ 0, ∀ v ∈ B = Bola(T, δ), ∃ δ > 0, então ∀ f ∈ B, f é injetiva.
Submersões
Def.: f : Uaberto ⊂ ℝ5 → ℝ3 é submersão ⇐ ∀ x ∈ U, f'(x) : ℝ5 → ℝ3 é transformação linear sobrejetiva.f é funcional linear ⇒ f é sobrejetivo ou f = 0.
f é submersão ⇔ df(x) ≠ 0, ∀ x ∈ U ⇔ ∇ f(x) ≠ 0, ∀ x ∈ U.
∀ T : ℝ5 → ℝ3, ∃ ℝ2 ⊕ ℝ3 tal que r = T | ℝ3 : ℝ3 → ℝ3 é isomorfismo.
(aij)3 × 5 = T ⇒ (bij)3 × 3 = r = sub T, det r ≠ 0.
Seja ℝ3 = ℝ2 ⊕ ℝ = ℝ2 ⋅ (e1, e3) + ℝ ⋅ (e2).
∀ v = (x, y, z) ∈ ℝ3, v = (α, β), tal que α = (x, 0, z), β = (0, y, 0).
Forma Local: Seja f submersão fortemente diferenciável em a ∈ U. Se ∃ ℝ5 = ℝ2 ⊕ ℝ3, tal que a = (a1, a2), ∂2 f(a) = f'(a) | ℝ3 : ℝ3 → ℝ3 é isomorfismo, então ∃ V, W, Z abertos, tais que a1 ∈ V ⊂ ℝ2, f(a) ∈ W ⊂ ℝ3, a ∈ Z ⊂ ℝ5, e ∃ homeomorfismo h : V × W → Z, [que é carta local de V × W em Z], tal que h é fortemente diferenciável em (a1, f(a)); f ∘ h (x, w) = w, ∀ (x, w) ∈ V × W.
Caso f ∈ Ck, ∀ x ∈ U = dom f, k ≥ 1, então ∃ V2, W2, Z2 tais que o difeomorfismo h ∈ a Ck.
Corolário 1. Seja f : Uaberto ⊂ ℝ5 → ℝ3, fortemente diferenciável em a ∈ U. Se f'(a) : ℝ5 → ℝ3 é sobrejetiva, então ∃ Zaberto; a ∈ Z ⊂ ℝ5; tal que f | Z é aplicação aberta ⇔ ∀ Aaberto ⊂ Z, f(A) é aberto em ℝ3.
Corolário 2. f ∈ Ck, k ≥ 1 é submersão ⇒ f é aplicação aberta.
Teorema da Aplicação Implícita. Seja f : Uaberto ⊂ ℝ5 → ℝ3 submersão fortemente diferenciável em a ∈ U; f(a) = c ∈ ℝ3. Se ∃ ℝ5 = ℝ2 ⊕ ℝ3, tal que a = (a1, a2), ∂2 f(a) é isomorfismo, então ∃ V, Z abertos, tais que a1 ∈ V ⊂ ℝ2, a ∈ Z ⊂ U, ∀ x ∈ V, ∃ ! ξ(x) ∈ ℝ3 tal que (x, ξ(x)) ∈ Z, f(x, ξ(x)) = c. A aplicação ξ : V → ℝ3 é fortemente diferenciável em a1 com ξ'(a1) = - [∂2 f(a)]-1 ∘ [∂1 f(a)].
Caso f ∈ Ck, k ≥ 1, então ξ ∈ Ck com ∀ x ∈ V, ξ'(x) = - [∂2 f(x,ξ(x))]-1 ∘ [∂1 f(x,ξ(x))].
Exercício 10.5 Seja f : U → ℝn diferenciável. Dado X ⊂ U, diz-se que f | X é um mergulho de X em ℝn quando:
(i) f | X é um homeomorfismo de X sobre f(X);
(ii) ∀ x ∈ X, a derivada f'(x) : ℝm → ℝn é injetiva.
Seja g : U → ℝn. Prove que se K ⊂ U é um compacto convexo tal que f | K é um mergulho, então ∃ δ > 0 tal que ∀ f, g ∈ C1, se |g(x) - f(x)| < δ ∧ |g'(x) - f'(x)| < δ, ∀ x ∈ K, então g | K é um mergulho.
Exercício 11.5 Toda raiz simples de um polinômio complexo é uma função C∞ dos coeficientes desse polinômio.
Mais Definições
f é de Lipschitz ⇐ ∃ k > 0 ; ∀ x, y ∈ dom f, | f(x) - f(y) | ≤ k | x - y |
f é isometria ⇐ f é de Lipschitz com k = 1
f é translação ⇐ f(x) = x + v
T é linear ⇐ T(x + y) = T(x) + T(y) ∧ T(ax) = a T(x)
f é funcional linear ⇐ f é linear ∧ Im f = ℝ
T é ortogonal ⇐ < Ax, Ay > = < x, y >, ∀ x, y ∈ dom T
T é ortogonal ⇒ dois vetores vi, vj ∈ T são ortogonais. |vi| = 1
T é ortogonal ⇒ Tt ⋅ T = Id
T é isomorfismo linear ⇔ det T ≠ 0
Seja f : Uaberto ⊂ ℝm → ℝn diferenciável. f é fortemente diferenciável em a ∈ U ⇔ f' : U → L(ℝm; ℝn) é contínua em a
f ∈ C0 ⇐ f é contínua em x, ∀ x ∈ dom f.
f ∈ Cn ⇐ f é n vezes diferenciável e dnf é contínua.
f é homeomorfismo ⇐ f é bijeção; f-1, f ∈ C0
f é difeomorfismo ⇐ f é bijeção; f-1, f são diferenciáveis.
f : A → B é sobrejetiva ⇐ ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A, tal que y = f(x).
f é injetiva ⇐ [ f(a) = f(b) ⇒ a = b ]
A é aberto ⇐
f é carta local ⇐
L(A; B) ≡ {f ∈ BA; f é linear}
L(ℝa; ℝb) ≅ ℝab
L(ℝa; ℝ) ≅ (ℝa)*
Bola(T ∈ U, R) ≡ {v ∈ U; 0 ≤ |v - T| ≤ R)
Hiperplanos projetivos: P0 = ponto no infinito.
P1 = R barrado = R ∪ P0
P2 = R2 ∪ S1/2 ∪ P0, onde S/2 é uma semi-esfera aberta.
P3 = R3 ∪ S2/2 ∪ S1/2 ∪ P0
Pn = Rn ∪ (reunião de i = 1 até n - 1) Si/2 ∪ P0
A verdade é que as preocupações matemáticas "do homem" (entendo "o homem rico", pois o pobre tem outras preocupações) levam a humanidade prum buraco cada vez mais fundo.
Se eu fosse físico, me preocuparia com as experimentações, pois já estamos cheios de teorias a la Hawking. Vejamos:
O som é uma onda 1d. A energia se propaga, o ar se move em x, vibrando.
Na corda a onda é 2d. A energia se propaga e os pontos se movem em y.
Numa explosão (e no som real), vibram os eixos x, y e z.
E a luz? A energia se propaga e o fluido cósmico universal se move.
— Ah, mas já provaram que não existe o éter.
Exercício 1) uma experiência que detecte (0,0,0,w) vibrando. w = A cos ωt
2) Um detector de presença. Mas não tenha medo de encontrar com uma onda eletromagnética falante!
Exercício: Eu sou um fotonzinho. Descreva meu referencial. Qual minha massa? Quais distâncias eu vejo? Quais intervalos de tempo? E as composições de velocidade? Eu estou passando perto de um buraco negro. Eu vou pelo melhor caminho, segundo o princípio da ação mínima. Isso seria uma reta. Como eu vejo minha trajetória? Quais forças percebo? Eu acelero e freio? Como é que vim parar no mesmo ponto? A culpa é do neutrino?
Comé que é o negócio? 4 pontos definem 2 parábolas conjugadas, se formarem um quadrilátero convexo; caso contrário, nenhuma parábola passa por eles.
Parte 1
Parte 2
Clique nos 4 pontos
External
Elipse
Hipérbole
Vejamos agora, baseado na geometria das variedades, como transformar um hiperparalelepípedo aleatório de lado L em uma hiperbola aleatória de raio r. Em particular, uma hiperesfera em uma hiper casca de cubo. Só tem graça em infinitas dimensões na topologia da luta de boxe ou na topologia do produto.
Na verdade, tá invertido. A função vai de S(A) em C(A) e a inversa vai de CJ em SJ.